Región angular

Se denomina región angular a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido un plano por dos rectas que se cortan. Estos ángulos se miden deacuerdo a su área similtudinal, es decir lo que mide realmente con Eudemo. Existen realmente diferentes Angulos llamados convexos y concavos se les llama así porque varia la medida del ángulo que se relacionan un poco con el ángulo recto, obtuso y sobretodoOblicuo.

Las unidades de medida de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Radián:

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en Física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s/r, donde θ es ángulo, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, $\scriptstyle{\theta}_\text{circunferencia}$ , que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

$\theta_\text{circunferencia}=\frac {L_\text{circunferencia}}{r} =\frac {2 \pi r}{r}=2 \pi\ \text{rad}\,$

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sen (x)}{x}=1$

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

$\sen(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$
$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

donde x se expresa en radianes.

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°
La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2π/3	3π/4	5π/6	π	7π/6	5π/4	4π/3	3π/2	5π/3	7π/4	11π/6	2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

El Radián tiene una unidad derivada llamada π Radian por segundo (πRad/s). Esta tiene una equivalencia con las Rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente con la ecuación que sigue:

De Rpm a πRad: $\frac{Rpm} {2} \cdot 60 = \pi Rad$ que con la ecuación simplificada: $\frac{Rpm} {1} \cdot 30 = \pi Rad$

De πRad a Rpm: $\frac{\pi Rad} {60} \cdot 2 = Rpm$ que con la ecuación simplificada: $\frac {\pi Rad} {30} =\ Rpm$

Conversiones entre grados y radianes

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈ 3,14159265359…)

Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras:

Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que 180° equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

Ejemplo A

Convertir 38° a radianes. radian x 38º 38ºrdian /180º = 0.21radianes

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

$\frac { \pi}{180}=\frac {x}{38}$

Despejamos x, también simplificamos.

$\text{x}=\frac {38 \pi}{180}=\frac {19 \pi}{90}$

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 0,6632 radianes.

Ejemplo B

Convertir 2,4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

$\frac { \pi}{180}=\frac {2.4}{x}$

Despejamos x.

$\text{x}=\frac {180*2.4}{ \pi}$

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 137°30'35.5"

Grado centesimal

Este artículo trata sobre el nombre del ángulo. Para la unidad de temperatura, véase grado Celsius.

Un grado centesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la circunferencia.

El grado centesimal, centígrado o gradián (plural: gradianes), originalmente denominado gon, grade o centígrado —nombres aún en uso en otros idiomas, por ejemplo, en portugués se escribe grado— resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades. La circunferencia se divide, así, en 400 grados centesimales. Un grado centesimal equivale a nueve décimos de grado sexagesimal.¹ En las calculadoras suele usarse la abreviatura grad. Se representa como una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra. Por ejemplo: 12,4574^g

Transportador de ángulos dividido en grados centesimales y amplitud de 400^g.

Sus divisores son:

1 grado centesimal = 100 minutos centesimales (100^m o 100^c)
1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales (100^s o 100^cc)

Para evitar confusiones, en 1948 la unidad homónima de temperatura conocida como centígrado pasó a denominarse oficialmente grado Celsius, aunque popularmente el grado celsius se siga denominando centígrado. Esto es parcialmente incorrecto, ya que la escala Kelvin también es centígrada (es una escala que toma de referencia 100 partes iguales, en este caso, punto de congelación y ebullición del agua destilada) y el término sería ambiguo.

Relación con el tamaño de la Tierra

Atendiendo a la definición de metro utilizada en 1889, un kilómetro debería corresponder a la longitud de un arco de meridiano cuya amplitud es un minuto centesimal; aunque mediciones posteriores más precisas del tamaño de la Tierra mostraron que existen diferencias.

Equivalencias

El grado centesimal surge de la división del plano cartesiano en cuatrocientos ángulos iguales, con vértice común. Cada cuadrante posee una amplitud 100 grados centesimales, y la suma de los cuatro cuadrantes mide 400 grados centesimales.

Equivalencia entre grados sexagesimales y centesimales

0° = 0^g

90° = 100^g

180° = 200^g

270° = 300^g

360° = 400^g
Ejemplo

Los siguientes valores angulares son equivalentes:

23° 47' 35" grados sexagesimales
23,7931 grados sexagesimales con fracción decimal
26^g 43^c 67^cc gonios con minutos y segundos centesimales
26,4367 gonios o grados centesimales

Los minutos y segundos de gonio se corresponden con la fracción decimal de gonio, cosa que no ocurre con los grados sexagesimales. No deben confundirse los grados centesimales con el uso de fracciones decimales para expresar ángulos en grados sexagesimales.

Conversión de ángulos comunes

Unidades	Valores
Revolución	0	$\tfrac{\tau}{12}$	$\tfrac{\tau}{8}$	$\tfrac{\tau}{6}$	$\tfrac{\tau}{4}$	$\tfrac{\tau}{2}$	$\tfrac{3}{4}\tau$	$1\tau\,$
Grados sexagesimales	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	$\tfrac{\pi}{6}$	$\tfrac{\pi}{4}$	$\tfrac{\pi}{3}$	$\tfrac{\pi}{2}$	$\pi\,$	$\tfrac{3\pi}{2}$	$2\pi\,$
Grados centesimales	0^g	$\tfrac{100^g}{3}$	50^g	$\tfrac{200^g}{3}$	100^g	200^g	300^g	400^g

Grado sexagesimal

Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia. Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto.

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Notación decimal

Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal, se divide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales, lo que se busca es transformar en minuto y el segundo números decimales, por ejemplo.

23,2345°

12,32°

-50,265°

123,696°

Notación sexagesimal

Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:

12°34′34″

13°3′23,8″

124°45′34,70″

-2°34′10″

Teniendo cuidado como norma de notación, no dejar espacio entre las cifras, es decir:

escribir 12°34′34″ y no 12° 34′ 34″

Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuenta que:

1’ = (1/60)° = 0,01666667° (redondeando a ocho dígitos)

1” = (1/60)′ = (1/3600)° = 0,00027778°

Así 12°15′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°

Relación entre radianes y grados sexagesimales

Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene $2 \pi$ radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

$\rm {360} \; {grados} = {2\pi} \; {Radianes}$

$\rm {180} \; {grados} = {\pi} \; {Radianes}$

Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:

$\frac{\pi}{180}\cdot\rm{\frac{Radianes}{grados}}$

Luego tenemos que, para un ángulo x dado en grados, su equivalente X en radianes es:

$X = x\cdot\frac{\pi}{180}\cdot\rm{\frac{Radianes}{grados}}$

y viceversa (si tenemos que, para un ángulo X dado en radianes, su equivalente x en grados es):

$x = X\cdot\frac{180}{\pi}\cdot\rm{\frac{grados}{Radianes}}$

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de $\frac{\pi}{2}$ rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100^g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a $\frac{\pi}{2}$ rad Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100^g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a $\frac{\pi}{2}$ rad y menor a $\pi\,$ rad Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo llano, extendido o colineal	El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ rad Equivalente a 180° sexagesimales (o 200^g centesimales).
Ángulo oblicuo	Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi\,$ rad Equivalente a 360° sexagesimales (o 400^g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):

Tipo	Descripción
Ángulo convexo o saliente	Es el que mide menos de $\pi\,$ rad. Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo cóncavo, reflejo o entrante	Es el que mide más de $\pi\,$ rad y menos de $2 \pi\,$ rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200^g y menos de 400^g centesimales).

Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,
ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan:

ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.
Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.

En la literatura del tema es posible también encontrar casos donde se denomina como adyacentes a cualquier par de ángulos que compartan el vértice y un lado, aunque no sean suplementarios (es decir, se llaman adyacentes a los ángulos que en otros textos se denominan consecutivos),⁴ ⁵ quizás debido a la influencia del inglés en donde adjacent angles tiene este significado. Por ello es importante al abordar un texto sobre el tema, tener presente cual es la convención usada. En este artículo se efectúa la distinción, considerando únicamente el caso en que los lados no comunes formen una línea recta, reservando el artículo ángulos consecutivos para la otra acepción.

Propiedades
- Los senos de los angulos adyacentes son los mismos, por ejemplo:
sin( 120° ) = sin( 60° )
sin( α° ) = sin( 180° - α° )
sin( α ) = sin( π - α )
Los cosenos de los ángulos adyacentes son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:

cos( 120° ) = - cos( 60° )

cos( α° ) = - cos( 180° - α° )

cos( α ) = - cos( π - α )

Ángulos consecutivos

Los ángulos consecutivos son aquellos que poseen un mismo vértice y tienen un lado común.

Así, dados varios ángulos, serán consecutivos cuando cada uno de ellos esté ordenado de forma que comparta un lado con ángulo siguiente y todos tengan el mismo vértice.

Son ángulos consecutivos los conjugados y los adyacentes.

Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro, y $\gamma \,$ un ángulo adyacente y suplementario de los dos, tenemos:

$\begin{matrix}\alpha + \gamma = 180^{\circ} \\ \ \beta + \gamma = 180^{\circ} \end{matrix}$

por ser suplementarios, por lo tanto:

$\begin{matrix}\alpha + \gamma = \beta + \gamma \\ \ \alpha = \beta \end{matrix}$

Corolario

Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice, son semirrectas opuestas. un anulo opuesto por el vertice une dos angulos,estos pueden ser de una misma medida o de diferentes medidas
ejemplo:
>< (tambien se pueden trazar una bisectriz

Ángulos entre paralelas

En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.

Ángulos correspondientes

Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes

Ángulos alternos

Alternos externos

Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes

Alternos internos

Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes

Ángulos congruentes entre paralelas

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes

Teoremas y resultados relacionados

La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría,¹ presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas.^{[Ver: Bibliografía]} Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica,² si bien es la ciencia griega, y en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a.C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.

Proposiciones de Euclides

La controversia sobre el V postulado alcanza la definición de los ángulos entre paralelas desde el momento mismo de la elección de la noción de «rectas paralelas»: las que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran; o bien las que forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal.³

De Los Elementos de Euclides:

Proposición 28
Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.

Proposición 29
Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.

Definición 23
Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Independencia del V postulado

Los siguientes dos resultados (lógicamente equivalentes⁴ ) son independientes del V postulado de Euclides. La Proposición 16, por ejemplo, no se cumple en geometría elíptica.

De Los Elementos de Euclides:

Proposición 27
Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas.

Proposición 16

En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos.

Geometría no-euclidiana

En la geometría absoluta o la geometría esférica por ejemplo, el quinto postulado de Euclides no aplica, por lo que los ángulos entre paralelas tienen propiedades diferentes.

Contraejemplos

Geometría elíptica.

Geometría hiperbólica.

Disco de Poincaré.

Congruencia (geometría)

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes

Un ejemplo de movimiento o congruencia.semejante a ellas. La última no es ninguna de las dos cosas. Nótese que los movimientos cambian propiedades de las figuras como la posición de estas, pero dejan inalteradas otras como las distancias y los ángulos.

En la geometría euclidiana, la congruencia es fundamental; es lo equivalente a igualdad en números. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualquier par de puntos en la primera figura, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda figura.

Una definición mas formal: dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo Rⁿ son llamados congruentes si existe una isometría f : Rⁿ → Rⁿ (un elemento del grupo euclideo E(n)) con f(A) = B. Congruencia es una relación de equivalencia.

Ángulos congruentes

Se denomina ángulos congruentes a aquellos ángulos que tienen la misma medida.

Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes. Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruentes.

	Los ángulos $α$* y $β$ son congruentes y opuestos por el vértice.*

	Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. En esta imagen podemos ver que están marcados por el mismo color.

Congruencia de triángulos

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:

$\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}$

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.

Criterios de congruencia de triángulos

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

Ángulos complementarios

Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90º (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son consecutivos, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.

Así, para obtener el ángulo complementario de α, teniendo α una amplitud de 70°, se restará α de 90°:

β =90° – 70º = 20º

el ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa).

Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rectángulo son uno de 90º y los otros dos deben sumar 90 con el del cateto adyacente y se multiplica por la hipotenusa (180º(grados totales de un triángulo)-90º=90º). Por tanto, el seno de α es igual al coseno de β y el seno de β igual al coseno de α puesto que pertenecen al mismo triángulo rectángulo.

La diagonal de un rectángulo también configura ángulos complementarios con los lados adyacentes.

Los ángulos α y β son complementarios.

Ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180° (grados sexagesimales).

Así, para obtener el ángulo suplementario β de un determinado ángulo α comprendido entre [0,180º], se restará α a 180°, de manera que:

β = 180° – α

En otras unidades de medida del ángulo plano, 180 grados sexagesimales equivalen a π radianes, o 200 grados centesimales y 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.

Ángulos suplementarios.

Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, también son congruentes entre sí.
Los senos de los angulos suplementarios son los mismos, por ejemplo:

sin( α° ) = sin( 180° - α° )

sin( α ) = sin( π - α )

sin( 120° ) = sin( 60° )

Los cosenos de los ángulos suplementarios son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:

cos( α° ) = - cos( 180° - α° )

cos( α ) = - cos( π - α )

'cos( 120° ) = - cos( 60° )

Ángulos conjugados se denomina a dos ángulos cuyas medidas suman 360º (grados sexagesimales).

Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes, tendrán sus lados comunes.
Así, para obtener el ángulo conjugado de α que tiene una amplitud de 250°, se restará α de 360°: β = 360° – 250º = 110ºel ángulo β (beta) es el conjugado de α (alfa).

360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.

COMPROBANDO TUS CONOCIMIENTOS

sábado, 3 de noviembre de 2012

Notación sexagesimal

Propiedades

Corolario

Ángulos entre paralelas

En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.

Ángulos correspondientes

Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes

1 comentario:

Datos personales